题目内容
如图，直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】分析：（1）根据题意易得AC的坐标，结合B的坐标，将三点代入解析式方程，可得abc的值，进而可得解析式；
（2）将解析式化为顶点式，易得M的坐标，过点M作MF⊥x轴于F，将四边形AOCM分割成三角形，分别求出其面积再求和可得四边形AOCM的面积；
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间，根据题意分三种情况讨论，依次分析可得答案．
解答：
解：（1）令x=0，则y=4；
令y=0则x=3．
∴A（3，0），C（0，4）
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴
，
解得
，
，
∴所求二次函数的关系式为
．（3分）
（2）∵
=
∴顶点M的坐标为
．（4分）
过点M作MF⊥x轴于F，
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM=
，
∴四边形AOCM的面积为10．（7分）
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间为
（秒）现分情况讨论如下：
ⅰ）当0＜t≤1秒时，
；（8分）
ⅱ）当1＜t≤2秒时，
∴
（10分）
ⅲ）当2＜t＜
秒时，
∴S=S△AOE-S△AOD=
=
．（12分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
（2）将解析式化为顶点式，易得M的坐标，过点M作MF⊥x轴于F，将四边形AOCM分割成三角形，分别求出其面积再求和可得四边形AOCM的面积；
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间，根据题意分三种情况讨论，依次分析可得答案．
解答：
解：（1）令x=0，则y=4；令y=0则x=3．
∴A（3，0），C（0，4）
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴
，解得
，
，∴所求二次函数的关系式为
．（3分）（2）∵
=
∴顶点M的坐标为
．（4分）过点M作MF⊥x轴于F，
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM=
，∴四边形AOCM的面积为10．（7分）
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间为
（秒）现分情况讨论如下：ⅰ）当0＜t≤1秒时，
；（8分）ⅱ）当1＜t≤2秒时，
∴
（10分）ⅲ）当2＜t＜
秒时，∴S=S△AOE-S△AOD=
=
．（12分）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
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