Question

如图，直线与y轴交于A点，过点A的抛物线与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由y=x+1，求出与y轴交点A的坐标，再将x=3代入y=x+1，求出y的值，得到B点坐标，然后将A、B两点坐标代入y=-x²+bx+c，运用待定系数法即可求得抛物线的函数解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M、N的坐标，再根据MN=NP-MP，即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN=-t²+t（0≤t≤3），然后运用配方法可求出当t=时，MN的长最大，最大值是；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：-t²+t=，解方程求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
解答：解：（1）∵y=x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当x=3时，y=×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5），
将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-x²+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为y=-x²+x+1；

（2）∵OP=1•t=t，
∴P（t，0），M（t，t+1），N（t，-t²+t+1），
∴MN=NP-MP=（-t²+t+1）-（t+1）=-t²+t，
即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-t²+t（0≤t≤3）；
∵-t²+t=-（t²-3t）=-（t-）²+，
∴当t=时，MN的长最大，最大值是；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
此时，有-t²+t=，
解得t₁=1，t₂=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-×1²+×1=，MP=×1+1=，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC===，
故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-×2²+×2=，MP=×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC===，
故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，二次函数的性质，平行四边形以及菱形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．