Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，MN是梯形ABCD的中位线．         
求证：DF=MN．

Answer 1

分析：过点D作DG∥AC，交BC延长线于点G，可得四边形ACGD是平行四边形，然后根据BD=AC=DG易得△BDG是等腰直角三角形，可得DF=

1

2

BG=

1

2

（BC+CG），又已知MN为梯形的中位线，可得MN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BC+CG），即可得证．

解答：证明：过点D作DG∥AC，交BC延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴四边形ACGD是平行四边形，
∴AD=CG，AC=DG，
在等腰梯形ABCD中，
∵AC=DB，
∴AC=BD=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形．
∵DF⊥BC
∴DF=

1

2

BG=

1

2

（BC+CG），
又∵MN为中位线，
∴MN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BC+CG），
∴DF=MN．

点评：本题考查了等腰梯形的性质及梯形的中位线定理，难度较大，关键是通过巧妙地作辅助线进行证明．