Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过A作腰CD的平行线，AE∥CD，AB=AD=DC，∠B=60°
（1）△ABE是什么三角形？说明理由；
（2）已知，AB=5，试求梯形ABCD的周长及对角线AC的长．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AE∥CD，根据有两边分别平行的四边形是平行四边形，即可得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得AE=DC，继而求得AB=AE，又由∠B=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，即可证得△ABE是等边三角形．
（2）首先证得四边形AECD是菱形，根据等腰梯形与菱形的性质，即可求得∠ACB的度数，继而求得∠BAC的度数，然后根据含30°的直角三角形的性质，即可求得BC的长，又由勾股定理，即可求得AC的长，则可求得答案．

解答：解：（1）△ABE是等边三角形．
理由：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=CD，
∴AE=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形．

（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵四边形AECD是平行四边形，AD=DC，
∴四边形AECD是菱形，
∴∠ACB=

1

2

∠DCB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=5，
∴BC=10，
∴AC=

BC2-AB2

=5

3

；
∴AD=CD=5，
∴梯形ABCD的周长为：5+5+5+10=25，AC=5

3

．

点评：此题考查了等腰梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．