题目内容

如图，菱形ABCD的边长为30cm，∠A=120°．点P沿折线A-B-C-D运动，速度为1cm/s；点Q沿折线A-D-C-B运动，速度为1.5cm/s．当一点到达终点时，另一点也随即停止运动．若点P、Q同时从点A出发，运动时间为t s．
（1）设△APQ面积为s cm²，求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当△APQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

解：（1）作AH⊥CD于点H，
∵菱形ABCD的边长为30cm，∠A=120°，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=30°，HD= $\text{[math]}$ AD=15cm，
∴AH=15 $\text{[math]}$ cm，
即菱形ABCD的高为15 $\text{[math]}$ cm，

分五种情况：
①如图1，延长BA过点Q做QN⊥BA于点N，
∵点P沿折线A-B-C-D运动，速度为1cm/s；点Q沿折线A-D-C-B运动，速度为1.5cm/s．
∴当0≤t≤20时，AQ=1.5t，∠NAQ=60°，
∴QN= $\text{[math]}$ t，
∴s= $\text{[math]}$ PA•QN= $\text{[math]}$ t• $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t ²．

②如图2，当20＜t≤30时，
s= $\text{[math]}$ t•15 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t．

③如图3，当30＜t≤40时，
s=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ t ²+ $\text{[math]}$ t．

④如图4，当40＜t≤48时，
s=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ t+900 $\text{[math]}$ ．

⑤如图5，当48＜t≤60时，
s= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ t-900 $\text{[math]}$ ．

（2）当P点在AB上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=54-6 $\text{[math]}$ ；
当P点在BC上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=36；
当P点在BC上，Q点在BC上，AP=AQ时，t=60．
分析：（1）作菱形ABCD的高线AH；利用菱形的性质、特殊角的三角函数值求得AH=15 $\text{[math]}$ ；需要对点P、Q的位置进行分类讨论：①当点P、Q分别位于AB、AD边上时；②当点P、Q分别位于AB、CD边上时；③当点P、Q分别位于BC、CD边上时；④当点P、Q都在BC边上时（BP＜BQ）；⑤当点P、Q都在BC边上时（BP＞BQ）；
（2）要解答本题，要分情况进行讨论．①当P点在AB上，Q点在CD上，AP=AQ时，求此时t的值；②当P点在BC上，Q点在CD上，AP=AQ时，求此时t的值；③当P点在BC上，Q点在BC上，AP=AQ时，求此时的t的值．
点评：此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积计算和一次函数和二次函数的问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，分类思想同学们应熟练掌握并应用．