Question

如图，△ABC中，∠ACB=45°，AO⊥BC于O，以BC、AO所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，CD⊥AB于D，交y轴于E，若OA=m，OB=n，且

m-n-1

+

n-2

=0．
（1）求m、n的值；
（2）求直线CD的解析式；
（3）求D点坐标．

Answer 1

分析：（1）由

m-n-1

+

n-2

=0，根据非负数的性质列出关于m、n的方程组，解方程组即可求出m、n的值；
（2）先判定△AOC是等腰直角三角形，得出OA=OC=3，C（3，0），再由同角的余角相等得出∠OAB=∠OCE=90°-∠OBA，利用ASA证明△AOB≌△COE，得出OB=OE=2，则E（0，2），然后设直线CD的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与直线CD的解析式联立，组成二元一次方程组，解方程组即可求出D点坐标．

解答：解：（1）∵

m-n-1

+

n-2

=0，
∴

m-n-1=0 n-2=0

，解得

m=3 n=2

，
故m的值为3，n的值为2；

（2）∵△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=45°，
∴OA=OC=3，C（3，0）．
∵AO⊥BC于O，CD⊥AB于D，
∴∠OAB=∠OCE=90°-∠OBA．
在△AOB与△COE中，

∠AOB=∠COE=90° OA=OC ∠OAB=∠OCE

，
∴△AOB≌△COE，
∴OB=OE=2，
∴E（0，2）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴直线CD的解析式为y=-

2

3

x+2；

（3）设直线AB的解析式为y=px+q，
∵A（0，3），B（-2，0），
∴

q=3 -2p+q=0

，解得

p= 3 2 q=3

，
∴直线AB的解析式为y=

3

2

x+3．
由

y= 3 2 x+3 y=- 2 3 x+2

，解得

x=- 6 13 y= 30 13

，
∴D点坐标为（-

6

13

，

30

13

）．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了非负数的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，两条直线交点坐标的求法，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．