Question

如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB是⊙O的切线；
（2）若BE=

3

cm，则AC=______cm．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAE=60°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°．
∵∠F=15°，
∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°．
又∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥FB．
又∵AB是直径，
∴直线FB是⊙O的切线；

（2）∵在直角△AEB中，BE=

3

cm，∠BAE=60°，
∴AB=

BE

sin60°

=

3

3 2

=2（cm）．
∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，则AC=

2

AB=2

2

cm．
故答案是：2

2

．