Question

某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩形花园ABCD，为了节约材料并种植不同类花，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块，已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米（如图），设花园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值是多少？（栅栏占地面积忽略不计）；
（3）当这个花园的面积不小于288平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵60=AB+CD+EFBC，AB=EF=CD=x，BC=y，
∴3x+y=60，
∴y=-3x+60（10≤x＜20）；

（2）∵S=xy=x（-3x+60），
∴S=-3x²+60x，
∵a=-3＜0，
∴当x=-=10时，S有最大值=300平方米；

（3）∵这个花园的面积不小288平方米，
∴-3x²+60x≥288，
∴-3x²+60x-288≥0．
设y=-3x²+60x-288≥0．
此函数的图象如图所示：
∴当这个花园的面积不小288平方米时，出x的取值范围是：10≤x≤12．
分析：（1）由题意可知栅栏的总长60米可以看做有BC，AB，CD和EF四段组成，把已知数据代入即可求出y和x的函数关系；
（2）利用矩形的面积公式：长×宽和（1）的结论即可得到S和x的关系式，再利用二次函数的性质即可求出当x为何值时，这个矩形花园的面积最大和其最大值；
（3）由（2）可知函数的关系式，由此关系式画出函数的图象，结合图象可直接写出x的取值范围．
点评：本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．