Question

一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半（如图）．若第1个正方形的边长是1，则生长到第4次后，所得图形的面积是______．

Answer 1

由于第一个正方形的边长为1，则第二、第三、第四个正方形的边长为

1

2

、

1

4

、

1

8

，
∴第二次新生成图形的面积为：

1

2

×

1

2

×

3

4

×2=

3

8

，
第三次新生成图形的面积为：

1

4

×

1

4

×

3

4

×4=

3

16

，
∵由题可得生长到第4次所得缺角正方形的边长为：

1

8

，
又∵缺角三角形的中心在先前正方形的角上，
∴它少了

1

4

的面积，即剩

3

4

，
所以一个缺角三角形的面积是 (

1

8

)2×

3

4

=

3

256

，
总共的面积=

3

256

×8=

3

32

，
则生长到第4次后，所得图形的面积是=1+

3

8

+

3

16

+

3

32

=1

23

32

．
故答案为：

109

64

．