Question

10．如图，
（1）求二次函数的解析式．
（2）设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形PBD的周长最小，求出点D和点P的坐标．
（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使得△DCE的面积最大，若有求出点E坐标及面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得P在BA上，根据待定系数法，可得BA的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，可得D点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大面积，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）如图1，，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0．解得x=-1，x=2（不符合题意，舍），即D点坐标为（-1，0）；
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{2}$．
连接BA交 对称轴于P点，设BA的解析式为y=kx+b，将B、A点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
BA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1．
当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{4}$
即P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；
（3）如图2，，
设CD的解析式为y=kx+b，将C、D点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=5}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
CD的解析式为y=x+1，F在CD上，E在抛物线上，
设E点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1），F点坐标为（m，m+1）．
FE=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
S_△DCE=$\frac{1}{2}$EF•（x_C-x_D）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×[4-（-1）]
=$\frac{5}{2}$[-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$]
当m=$\frac{3}{2}$时，S_△DCE最大=$\frac{125}{16}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1=-$\frac{5}{8}$，
即E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

点评 本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出P在BA上是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．