Question

如图1，已知⊙O的半径是2，C为直径BA延长线上一点，OC=4，过C作直线CF使∠OCF=30°．
（1）求证：⊙O与直线CF相切；
（2）如图2，设（1）中的切点为E，Q为圆周上一点，EQ交AB于D，cos∠AEQ=

3

4

，求

BD

DE

的值；
（3）如图3，设P为线段AC上的一个动点（不与A、C重合），求证：不论P在何处，总存在弦EQ（EQ与AB交于D）使得ED•QD=AP•PC成立．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过O作OE⊥CF于E，根据∠OCF=30°，可知OE=

AB

2

=2，再根据⊙O的半径是2即可得出结论；
（2）连结QA、QB，根据OA=AC=2，△COE是直角三角形可得出AE的长，再由cos∠AEQ=

3

4

得出cos∠ABQ=

3

4

，AB=4，BQ=3，由相似三角形的判定定理得出△AED∽△BQD，根据相似三角形的对应边成比例得出

BD

DE

=

QB

AE

=

3

2

；
（3）设AP=a（0＜a＜2），AD=x，则BD=4-x，令x（4-x）=a（2-a），即x²-4x+2a-a²=0，根据△=4（4-2a+a²）＞0可知方程总有解，即不论P在何处，AD×BD=AP×PC总能成立，再根据△AED∽△BQD可得出ED×QD=AD×BD，故可得出结论．

解答：解：（1）过O作OE⊥CF于E，
∵∠OCF=30°，
∴OE=

AB

2

=2
又∵⊙O的半径是2，
∴⊙O与CF相切；

（2）连结QA、QB，
∵OA=AC=2，△COE是直角三角形，
∴AE=

OC

2

=2，
∵cos∠AEQ=

3

4

，
∴cos∠ABQ=

3

4

，AB=4，
∴BQ=3，
∵∠AED=∠DBQ，∠ADE=∠BDQ，
∴△AED∽△BQD，
∴

BD

DE

=

QB

AE

=

3

2

；

（3）设AP=a（0＜a＜2），AD=x，则BD=4-x，令x（4-x）=a（2-a），即x²-4x+2a-a²=0，
∵△=4（4-2a+a²）＞0，
∴方程总有解，即不论P在何处，AD×BD=AP×PC总能成立，
又∵△AED∽△BQD，
∴ED×QD=AD×BD，
∴不论P在何处，总存在弦EQ使得ED×QD=AP×PC成立．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、切线的判定、锐角三角函数的定义及圆周角定理等知识，难度适中．