Question

【题目】为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m﹣20
售价（元/双）	240	160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．

（1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

Answer 1

【答案】（1）m＝100；（2）共有6种方案；（3）应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．

【解析】

（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；

（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；

（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．

解：（1）依题意得，

＝，

整理得，3000（m﹣20）＝2400m，

解得m＝100，

经检验，m＝100是原分式方程的解，

所以，m＝100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，

根据题意得，，

解得95≤x≤100，

∵x是正整数，

100﹣95+1＝6，

∴共有6种方案；

（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80×（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），

①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，

所以，当x＝100时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；

②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；

③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，

所以，当x＝95时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．