Question

如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C₁；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C₂；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C₃；…，依次规律，当正方形边长为2时，则C₁+C₂+C₃+…C₉₉+C₁₀₀=

10100π

．

Answer 1

分析：根据圆的周长公式求出C₁=2π×1，C₂=2π×2；，C₃=2π×3；推出C₁₀₀=2π×100，代入C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀，得出2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100，求出即可．

解答：解：C₁=2π×

1

2

×2=2π=2π×1；
C₂=2π×

1

2

×

1

2

×2×4=4π=2π×2；
C₃=2π×

1

3

×

1

2

×2×9=6π=2π×3；
C₄=2π×

1

4

×

1

2

×2×16=8π=2π×4；
…
C₁₀₀=2π×100=200π，
∴C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀
=2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100
=2π（1+2+3+4+…+99+100）
=10100π．
故答案为：10100π．

点评：本题考查了相切两圆的性质和图形的变化类的应用，关键是根据求出的结果得出规律（C_n=2π×n），题型较好，有一点难度．