题目内容
如图：在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C两点，与y轴相交于D、E两点．（1）若抛物线
经过C、D两点，求此抛物线的解析式，并判断点B是否在这条抛物线上？（2）过点E的直线y=kx+m交x轴于F（
，0），求此直线的解析式，这条直线是⊙A的切线吗？请说明理由；（3）探索：是否能在（1）中的抛物线上找到一点Q，使直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于
？若能，请直接写出Q点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）连接AE，利用垂径定理可求出点D的坐标为（0，-4），根据圆的半径为5，可得出点C的坐标为（8，0），利用待定系数法求解即可；
（2）根据直线经过点E（0，4），可设直线解析式为y=kx+4，将点F的坐标代入可得出直线解析式，分别求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判断出∠AEF为直角，继而根据切线的判定可得出结论；
（3）由（1）得点B在抛物线上，设点Q的坐标为（x，
x2-
x-4），分别讨论点Q的位置，①点Q在x轴上方，②点Q在x轴下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．
解答：解：连接AE，
由题意得，OD=OE=4，
故可得：C、D两点坐标为：C（8，0），D（0，-4），
把C、D两点坐标代入
中，
得：
，
解得：
，
故所求二次函数为：
，
∵B点坐标为（-2，0），
∴当x=-2时，
，
∴点B在这条抛物线上．
（2）因为直线经过点E（0，4），可设解析式为：y=kx+4，
把点F（
，0）代入上式得：
，
故所求一次函数为：
，
在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2=16+
=
，
在△AEF中，AF=3+
，
即
，
∴EF2+AE2=
+25=
=AF2，
∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切线．
（3）能找到这样的点Q，
设存在点Q（x，
x2-
x-4），
∵直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于
，
①若点Q在x轴上方时，此时
=
，
解得：x1=9，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（9，
）；
②若点Q在x轴下方时，
=
，
解得：x1=7，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（7，-
）．
故可得存在点Q的坐标，其坐标分别为：（9，
） 和 （
）．
点评：此题属于圆的综合题，涉及了切线的判定、待定系数法求函数解析式及三角函数的知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是掌握各个知识点之间的融会贯通．
（2）根据直线经过点E（0，4），可设直线解析式为y=kx+4，将点F的坐标代入可得出直线解析式，分别求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判断出∠AEF为直角，继而根据切线的判定可得出结论；
（3）由（1）得点B在抛物线上，设点Q的坐标为（x，
x2-x-4），分别讨论点Q的位置，①点Q在x轴上方，②点Q在x轴下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．解答：解：连接AE，
由题意得，OD=OE=4，
故可得：C、D两点坐标为：C（8，0），D（0，-4），
把C、D两点坐标代入
中，得：
，解得：
，故所求二次函数为：
，∵B点坐标为（-2，0），
∴当x=-2时，
，∴点B在这条抛物线上．
（2）因为直线经过点E（0，4），可设解析式为：y=kx+4，
把点F（
，0）代入上式得：，故所求一次函数为：
，在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2=16+
=，在△AEF中，AF=3+
，即
，∴EF2+AE2=
+25==AF2，∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切线．
（3）能找到这样的点Q，
设存在点Q（x，
x2-x-4），∵直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于
，①若点Q在x轴上方时，此时
=，解得：x1=9，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（9，
）；②若点Q在x轴下方时，
=，解得：x1=7，x2=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（7，-
）．故可得存在点Q的坐标，其坐标分别为：（9，
） 和 （）．点评：此题属于圆的综合题，涉及了切线的判定、待定系数法求函数解析式及三角函数的知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是掌握各个知识点之间的融会贯通．
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