Question

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连AF，若BE=9，cosA=

4

5

，求弦AF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，OF，过O作OG垂直于AB，利用垂径定理得到G为AB中点，在直角三角形AOG中，由cos∠OAB的值，设OA=5x，AB=2AG=8x，AE=AB-BE=8x-9，AD=

1

2

AO=

5

2

x利用两对角相等的三角形相等得到△ADE∽△AGO，由相似得比例，列出关于x的方程，即可求出出AF的长．

解答：（1）证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，AF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF=OA，
过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，
在Rt△AOG中，cos∠OAB=

AG

OA

=

4

5

，
设AG=4x，则OA=5x，AB=2AG=8x，AE=AB-BE=8x-9，AD=

1

2

AO=

5

2

x，
∵∠DAE=∠GAO，∠ADE=∠AGO=90°，
∴△ADE∽△AGO，
∴

AD

AG

=

AE

AO

，即

5 2 x

4x

=

8x-9

5x

，
解得：x=

24

13

，
则AF=AO=5x=

120

13

．

点评：此题考查了切线的判定，垂径定理，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．