Question

如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=

3

2

，求AC的长．

Answer 1

分析：过点D作DE⊥AB于E，则△ADC≌△ADE，所以DE=CD=

3

2

，可得BD=

5

2

，在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BE=2，再在Rt△ABC中，设AE=AC=x，由勾股定理解得AE的值，即是AC的值．

解答：解：
过点D作DE⊥AB于E，
在△ADC和△ADE中

∠C=∠AED=90° ∠CAD=∠EAD AD=AD

∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴DE=CD=

3

2

，AE=AC，
∴BD=4-

3

2

=

5

2

，
在Rt△BDE中，BE=

( 5 2 )2- ( 3 2 )2

=2，
在Rt△ABC中，设AE=AC=x，
x²+4²=（x+2）²，
解得x=3，
∴AC=3．

点评：此题主要考查角平分线的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．