题目内容

如图，二次函数y=
1
2
（x-5）（ x+m） （m是常数，m＞0）的图象与x轴交于点A（5，0）和点B，与y轴交于点C，连结AC．
（1）点B的坐标为
 
，点C的坐标为
 
．（用含m的代数式表示）
（2）求直线AC的函数关系式．
（3）垂直于x轴的直线l在点A与点B之间平行移动，且与抛物线和直线AC分别交于点M、N．设点M的横坐标为t，线段MN的长为p．
①当t=2时，求证：p为定值；
②若m≤1，则当t为何值时，p取得最大值，并求出这个最大值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）点B纵坐标为0，点C横坐标为0，将其直接代入二次函数y=
1
2
（x-5）（x+m）即可求得坐标．
（2）求直线方程一般采用待定系数法，设直线为y=kx+b，代入A、C坐标即可．
（3）①求证p为定值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=yN-yM，这里yM为点M的纵坐标，yN为点N的纵坐标②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在-m≤t≤0，p=yM-yN，当0≤t≤5时，p=yN-yM．如此要分开讨论最值，然后在综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1．
解答：解：（1）B（-m，0），C（0，-
5
2
m）． 

（2）设AC的函数关系式为：y=kx+b，
∵A、C在直线上，
∴将A（5，0），C（0，-
5
2
m）的坐标满足方程，可得：
0=5k+b
-
5m
2
=b
   
解得：
k=
1
2
m
b=-
5m
2
，
∴y=
1
2
m（x-5）．

（3）①证明：∵t=2，
∴点M的纵坐标yM=
1
2
 （2-5）（ 2+m）=-
3
2
 （ 2+m），
  点N的纵坐标yN=
1
2
m（2-5）=-
3
2
m．
∴p=yN-yM=-
3
2
m+
3
2
 （2+m）=3，即此时p为定值．
②解：∵设点M的横坐标为t，线段MN的长为p，
∴点M的纵坐标yM=
1
2
 （t-5）（t+m）=
1
2
t2+
1
2
（m-5）t-
5
2
m，点N的纵坐标yN=
1
2
m（t-5）．
当0≤t≤5时，p=yN-yM=-
1
2
t2+
5
2
t=-
1
2
（t-
5
2
）2+
25
8
．此时，当t=
5
2
时，p取得最大值为
25
8
．
当-m≤t≤0时，p=yM-yN=
1
2
t2-
5
2
t=
1
2
（t-
5
2
）2-
25
8
．此时，此二次函数图象开口向上，对称轴为直线t=
5
2
，
∴在-m≤t≤0时，p随t的增大而减小．当t=-m时，p取得最大值为
1
2
m2+
5
2
m．
对y=
1
2
m2+
5
2
m，根据二次函数性质，此函数开口向上，m=-
5
2
2•
1
2
=-
5
2
为对称轴，
∴当0＜m≤1，
1
2
m2+
5
2
m的值随m值的增大而增大．
∴
1
2
m2+
5
2
m≤
1
2
×12+
5
2
×1=3，
∴
1
2
m2+
5
2
m＜
25
8
．
∴在-m≤t≤5时，当t=
5
2
时p取得最大值，最大值为
25
8
．
点评：本题考查了二次函数的性质，并且设置了多次最值问题的讨论，是一道很需要基本功的题目．但是本题思路及方法都属于常规套路，综上是一道质量很高的题目．
练习册系列答案
相关题目
如图，在数轴上，点A所对应的数是-
2
，点B所对应的数是
7
，则点A和点B之间表示整数的点有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（　　）
A、8B、9C、10D、12
下列数值中，是不等式x-1＞1的解的是（　　）
A、0B、1C、2D、3
看图填空：
已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC=90°，∠EFC=90°（垂线的定义）
∴
 
=
 

 
∥
 

∴∠1=
 

∠2=
 

∵∠1=∠2（已知）
∴
 

∴AD平分∠BAC（角平分线定义）
化简计算：|
3-8
+
3
|
要为一副长8cm，宽4cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的
1
4
，镜框的宽度应是多少cm？（结果保留一位小数，
6
=2.449）
已知（a+b）2=60，（a-b）2=80，求a2+b2及ab的值．
计算（或化简、求值）：
（1）（
1
3
）0÷（-
1
3
）-3．              
（2）20072-2006×2008．
（3）（x+y+4）（x+y-4）．
（4）（3x2-4y3）（-3x2-4y3）-（-3x2-4y3）2．

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