Question

17．在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点P在坐标轴上，若使得△AOP是等腰三角形的点P恰有6个，则满足条件的a的值为$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现交点，而已知点A（a，3）在一、二象限，且使得△AOP是等腰三角形的点P恰有6个，所以这样的点使得△AOP是等边三角形，这样的点在第一象限有两个，在第二象限有两个．

解答 解：如图∵A（a，3），
∴点A在第一，二象限，
当点A在第一象限，△A₁OP₁，△A₂OP₂为等边三角形时，
使得△AOP是等腰三角形的点P恰有6个，
∵△A₁P₁O是等边三角形，
∴∠A₁OP₁=60°，
∴∠P₂OA₁=30°OB=3，
∴A₁B=$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∵△A₂OP₂是等边三角形，
∴∠P₂OA₂=60°，OP₂=6，
∴A₂B=3$\sqrt{3}$，∴a=3，
当点A在第二象限，存在符合条件的点与第一象限的点A关于y轴对称，
∴a=-$\sqrt{3}$，或a=-3$\sqrt{3}$，
∴满足条件的a的值由4个，
故答案为：$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决．