题目内容
如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，则对角线AE=3
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．分析：先由多边形的内角和定理，求出正九边形内角的度数，由圆周角定理可求出∠CAB=20°，连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N，再求出△AHM中各角的度数，由正方形的性质及直角三角形的性质即可解答．
解答：解：∵正九边形内角和为（9-2）×180°=1260°，
∴每个内角为140°，
又∵AB=BC，∠B=140°，
∴∠CAB=（180°-140°）÷2=20°，
连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．
∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°．
∴∠HAM=140°-2×20°-40°=60°，
∴∠AHM=30°，
设AM=EN=x，MN=y，
四边形HGNM是矩形，所以HG=y，即正九边形边长为y，
在Rt△AHM中，∠AHM=30°，
∴AC=AH=2AM=2x，
∴AB+AC=y+2x，
∵AE=AM+MN+EN=2x+y，
∴AE=AB+AC=3．
故答案为：3．
∴每个内角为140°，
又∵AB=BC，∠B=140°，
∴∠CAB=（180°-140°）÷2=20°，
连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．
∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°．
∴∠HAM=140°-2×20°-40°=60°，
∴∠AHM=30°，
设AM=EN=x，MN=y，
四边形HGNM是矩形，所以HG=y，即正九边形边长为y，
在Rt△AHM中，∠AHM=30°，
∴AC=AH=2AM=2x，
∴AB+AC=y+2x，
∵AE=AM+MN+EN=2x+y，
∴AE=AB+AC=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是正多边形和圆及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
练习册系列答案
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