Question

【题目】如图，顶点为的抛物线与交轴分别于点，（点在点的左侧），与交轴交于点．已知直线的解析式为．

(1)求抛物线的解析式：

(2)若以点为圆心的圆与相切，求的半径；

(3)在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似，点的坐标是或

【解析】

(1)利用直线的解析式分别求得A、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)利用两点之间的距离公式，分别求得AD、AC、CD的长，根据勾股定理的逆定理先判断出△ADC是直角三角形，再利用面积法即可求解；

(3)分三种情况讨论，利用相似三角形对应边成比例即可求解．

(1)把代入，得．

∴，

把代入，得，

∴，

把，，代入，得

，解得，

∴抛物线的解析式为：；

(2)∵，，，

∴在中，，，

同理：，，

，，

∴，

∴是直角三角形，

过点作，垂足为点，

∴，

∴，

∴，

∴的半径为；

(3)答：在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似．

解：在中，，

∴，

①当()时，

，即，

∴．

此时点的坐标是．

②当()时，

．即，

∴，

，

此时点的坐标是；

③当()时，点不在轴上；

综上所述，在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似，点的坐标是或．