Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC与OP相交于点D．

（1）求证：∠B+∠CPO＝90°；

（2）连结BP，若AC＝，sin∠CPO＝，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据圆的公切线定理，可得到∠AOC+∠APC＝180°，再由圆周角等于圆心角的一半，可得到结果.

（2）连接BP，由解直角三角形可得到AP的长度，再由勾股定理求出BP的长度即可.

（1）证明：连接OC，如图．

∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，

∴OC⊥PC，OA⊥PA，∠APC＝2∠CPO．

∴∠OCP＝∠OAP＝90°．

∵∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP＝360°，

∴∠AOC+∠APC＝180°．

∵∠AOC＝2∠B，

∴∠B+∠CPO＝90°．

（2）解：连接BP，如图．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴∠ABC+∠BAC＝90°．

∵∠ABC+∠CPO＝90°，

∴∠BAC＝∠CPO＝∠APO．

∵AC＝，sin∠BAC＝，

∴AB＝3，．

∵，sin∠APO＝，

∴AP＝2．

∴.