Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=

9

5

，AC=3．则DE长为（　　）

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  5

  2

• D、

  5

Answer 1

分析：连接OD，CD．由切线长定理得CD=DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE=DE，从而求得DE的长．

解答：解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AD=

9

5

，AC=3．
∴CD=

12

5

，
∵OD=OC=OA，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC=90°．
∵∠OCD+∠DCB=90°，
∴∠BCD=∠CDE，
∴DE=CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B=∠ACD，
∴

CD

BC

=

AD

AC

，
∴BC=

AC•CD

AD

=

3× 12 5

9 5

=4，
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，∠B+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=CE=DE．
∴DE=

1

2

BC=

1

2

×4=2．
故选B．

点评：本题考查了切线长定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．