Question

（2013•黄浦区二模）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=

4

5

．

Answer 1

分析：过点C作CE⊥y轴于E，根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出OE的长，再利用勾股定理列式求出OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．

解答：解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵A（1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
在△ABO和△BCE中，

∠ABO=∠BCE ∠AOB=∠BEC=90° AB=BC

，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=1，CE=OB=3，
∴OE=OB+BE=3+1=4，
在Rt△OCE中，OC=

OE2+CE2

=

42+32

=5，
∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴CE∥x轴，
∴∠OCE=∠COA，
∴sin∠COA=sin∠OCE=

OE

OC

=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．