Question

如图所示，⊙O的半径为2，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且sin∠CBD=，则OM=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   1
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，由于BD⊥AC，所以∠BDC=90°，由于∠AEB=∠ACB，所以∠BAE=∠CBD，故sin∠BAE==sin∠CBD=，故可求出BE的长，再根据O是AE的中点，OM⊥AM可知OM是△ABE的中位线，故OM=BE，故可得出结论．
解答：解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴∠ABE=90°，AE=4，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CBD，
∴sin∠BAE==sin∠CBD==，解得BE=1，
∵O是AE的中点，OM⊥AM，
∴OM是△ABE的中位线，
∴OM=BE=．
故选A．
点评：本题考查的是圆周角定理及三角形的中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．