题目内容
【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或3
﹣6
【解析】
（1）把
和点
代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；
（2）如图1，根据对称的性质得
，可得
，设
，则
，在
中，根据勾股定理得
，列方程可得结论；
（3）分两种情况：先说明
是直角三角形，所以
也是直角三角形，根据
，画图，由勾股定理列方程可解答．
解：（1）
抛物线
过点和点，
，
解得
，
；
（2）如图1，连接
，
，
点
关于直线
的对称点
，
，
与
轴交于点
，与
轴交于点，
，
，
点
，
设直线与轴交于点
，则
，
设，则，
在中，，
，
，
直线的截距为；
（3）点
是轴正半轴上一点，
是直角三角形，且
当
与全等时，存在两种情况：
①如图2，当
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知：
，
，
中，
，
，
解得：
或
（舍
，
点的纵坐标是；
②如图3，当，
，
，
，
中，
，
，
，
中，由勾股定理得：
，
，
解得：
，
点的纵坐标是
；
综上，点的纵坐标是或．
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