Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-8，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．当45°＜α≤90°，且BP=

1

2

BQ时，线段PQ的长是

 

．

Answer 1

分析：如图，过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，构造直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得线段BP的长度．

解答：解：∵45°＜α≤90°，
∴点P在点B的右侧．如图，过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC．
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x．
则OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，根据勾股定理知，PC²+OC²=OP²，即（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
∴PQ=BP=

25

4

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故答案是：

25

4

．

点评：此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．