Question

【题目】如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出为等腰三角形的点共有几个？并求以为底边时，点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）点的坐标为：或或或或.

【解析】

（1）抛物线经过点，，，可利用两点式法设抛物线的解析式为，代入即可求得函数的解析式；

（2）作辅助线，将四边形分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设，四边形的面积为，用字母表示出四边形的面积，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点的坐标.

（3）分三种情况画图：①以为圆心，为半径画弧，交对称轴于和，有两个符合条件的和；②以为圆心，以为半径画弧，也有两个符合条件的和；③作的垂直平分线交对称轴于一点，有一个符合条件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐标.

解：（1）设，

把代入：，

，

∴；

（2）存在，

如图1，分别过、向轴作垂线和，垂足分别为、，

设，四边形的面积为，

则，，，，，

∴，

，

，

，

当时，有最大值为48，这时，

∴，

（3）这样的点一共有5个，

①以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、，则，

设对称轴交轴于，

；

∴抛物线的对称轴是：，

∵，，

∴，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

②以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、，

∴，

过作于，则，

∵，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

③连接、，

因为在对称轴上，所以设，

∵是等腰三角形，且，

由勾股定理得：，

，

∴.

综上所述，点的坐标为：或或或或.