题目内容

如图，已知：△ABC为边长是4
3
的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．

（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线BM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形．如果存在，请求出线段EH的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若四边形DEFG为边长为4
3
的正方形，△ABC的移动速度为每秒
3
个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线FG-GD以每秒2
3
个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线BA-AC于P点，则是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）当0≤t＜2
3
时，S=
3
2
t2
当2
3
≤t≤6时，S=-
3
2
t2+12t-12
3
．
（2）当点A与点D重合时，BE=CE=2
3
，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=
1
2
∠ABE=30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4时，EH=
AE2+AH2
=2
13
，
②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，∴舍去，
③AH=NH时，此时H点为线段AN的中垂线与AG的交点，如图1，
∴AK=
1
2
AN=2，AH=
AK
cos∠HAK
=
4
3
3

∴EH=
AE2+AH2
=
2
3
93
．
（3）当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，
∴
PE
EF
=
EC
QF
，
∴
3t
4
3
=
3
t
2
3
t
，
∴t=
2
3
3
；
当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDE，
∴
PE
DQ
=
EC
DE
，
∴
12-3t
8
3
-2
3
t
=
3
t
4
3
，
∴
3
t2-(6+4
3
)t+24=0
∴(
3
t-6)(t-4)=0，
∴t1=4，t2=2
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．
如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，E′为CB延长线上一点，BE′=DE=1．连接EE′，则EE′的长等于______．
如图1，已知正方形ABCD，将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF．求证：EF=AE+CF
（1）小明是这样思考的：延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路．
（2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长②将角∝绕D点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图3所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．
已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是______平方厘米．
如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，面积是25的正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，那么h的值是______．
如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是正三角形，则∠AEB的度数为______度．
附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．?
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．?
已知一个正方形的对角线长为4，则此正方形的面积为______．

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