Question

【题目】已知和中，，，，（其中），连接、，点为线段的中点，连接、，绕点顺时针旋转，探究线段与的数量关系．

（1）如图1，点落在边上时，探究与的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，点落在内部时，探究与的数量关系，并说明理由；

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析．

【解析】

(1) 延长交于点,先证,可得,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得,结合,即可完成证明；

（2）延长，过点作交的延长线于点，连接．先证,可得；再延长、交于点，设、交于点．证得；最后根据相似三角形的性质和直角三角形的性质解答即可．

（1）；

证明：延长交于点．

∵，点落在边上

∴

∴

又∵，

∴

∴

在中，

∴

又∵

∴

（2）；

证明：延长，过点作交的延长线于点，连接．

∵

∴

又∵，

∴

∴，

延长、交于点，设、交于点．

∵

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴即

又∵

在中，

∴

又∵

∴