题目内容

以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径，以点A为圆心作弧交AB边的延长线于点E，交AD边的延长线于点F，得扇形AECF，把扇形AECF的面积称为正方形ABCD面积的扩展；再以线段AE为一边作正方形AEGH，以对角线AG的长为半径，点A为圆心画弧交AE边的延长线于点M，交AH边的延长线于点N，得扇形AMGN，则扇形AMGN的面积是正方形AEGH面积的扩展，按此法依次进行到如图所示，叫做正方形ABCD面积的第一次扩展．按这种方法可进行第二次扩展，直到第n次扩展
（1）求第一次扩展中各扇形面积之和S1；
（2）求第二次扩展中各扇形面积之和S2（第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；
（3）求第n次扩展中各扇形面积之和Sn．

【答案】分析：（1）根据扇形的面积公式和勾股定理可计算出扇形的面积；
（2）分别计算出各扇形的半径，利用扇形面积公式计算；
（3）从第一次和第二次中要找到规律，第二次是第一次的16倍，所以第三次就是16的2倍，即162-1，
第n次就是16n-1．
解答：解：（1）根据勾股定理可知半径为a；
第一次扩展半径为2a；
第三次扩展的半径为2a；
第四次为4a；
根据扇形面积可知第一次扩展中各扇形面积之和
S1=+++=a2π．

（2）第二次扩展中各扇形的半径分别是a，8a，a，16a，
根据扇形面积可得第二次扩展中各扇形面积之和
S2=+++=120πa2．

（3）从第一次和第二次中要找到规律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即162-1，
第n次就是16n-1．
所以第n次扩展中各扇形面积之和Sn=16n-1πa2．
点评：在第一二次中主要是根据扇形的面积公式计算，在第三次中却要从第一次和第二次中找到规律进行计算．
练习册系列答案
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；所作的第n个四边形的周长为
 
．
如图，以边长为
2
的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x2+bx+c经过点B精英家教网且与直线AB只有一个公共点．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．
（2012•邯郸一模）如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径做⊙O，交对角线AC于点E．
（1）线段AE=
4
2
4
2
．
（2）如图2，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F，
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α=
90°
90°
 时，DM与⊙O相切．
以边长为1的正方形的对角线长为边长的新的正方形的面积为
2
2
．
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