Question

【题目】如图，已知、两点是直线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点，如果，的长分别是x2-14x+48=0的两个根，射线平分交轴于点，

（1）求，的长．

（2）求点的坐标．

（3）在坐标平面内找点，使，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的长是，的长是；（2）；（3）点的坐标是、或．

【解析】

（1）由，的长分别是x2-14x+48=0的两个根，可以解一元二次方程求出和的长度.

（2）作垂直于，利用角平分线定理并设，利用建立含x的等量关系方程，从而求得C的坐标.

（3）首先肯定存在这样的Q点，运用四边形ABCQ为平行四边形时当、交于点，、交于点，、交于点，分别设点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，从而分析求值.

由，

解得或，

∵ ，

∴ ，，

即的长是，的长是．

∵ 射线平分交轴于点，作垂直于，如图所示：

根据角平分线性质得，，

设，则，

在中，，

，

，

解得，即.

如图，、交于点，

设点的坐标是，

∵ ，

∴ ①，

∵ 四边形是平行四边形，

∴ 点是、的中点，

∴ ②，

由①②，可得

∴ 点的坐标是．

如图，、交于点，

设点的坐标是，

∵ ，

∴ ，

∵ 四边形是平行四边形，

∴ 点是、的中点，

∴ ，

解得，

∴ 点的坐标是．

如图，、交于点，

设点的坐标是，

∵ ，

∴ ，

∵ 四边形是平行四边形，

∴ 点是、的中点，

∴ ，

解得，

∴ 点的坐标是．

综上，可得点的坐标是、或．