Question

如图边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为

2

πa

此时点A经过的路程为

(1+

2

2

)πa

．

Answer 1

分析：要计算正方形滚动一周时，正方形中心O和顶点A所走的路程，就必须弄清它们的运动过程：
中心O：当正方形滚动一周时，中心O所经过的路程为4段弧，且都是以90°为圆心角、对角线的一半为半径，因此中心O实际经过的路程是一个圆，且半径为对角线的一半，由此得解；点A：当正方形滚动一周时，点A也经过了4段弧，可分作两部分：
一、以90°为圆心角、对角线长为半径的两段弧，二、以90°为圆心角、边长长为半径的两段弧；可根据弧长计算公式进行求解即可．

解答：解：根据勾股定理可得：AC=

2

a，即OC=

2

2

a，
正方形中心O经过的路程=

90π× 2 2 a×4

180

=

2

aπ，
点A经过的路程=

90π× 2 a

180

+

90π×a×2

180

=(1+

2

2

)πa．
故答案为：

2

aπ，（1+

2

2

）πa．

点评：此题主要考查了弧长的计算方法以及锐角三角函数的定义，能够发现正方形滚动过程中，中心和顶点的移动轨迹是解答此题的关键．