Question

已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN=45°
①求证：MN=BM+DN；
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF=y，DE=x，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可进行证明．
（2）证明△BFA∽△DAE，根据相似三角形的对应边成比例，可列出函数式．

解答：（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，
∵M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN．

（2）解：∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，
∴∠AED=∠FAB，
∵∠ABF=∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴

BF

AD

=

AB

DE

，
∴

y

2

=

2

x

，
∴y=

4

x

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点．