Question

图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为

（m-n）²

；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）²、（m-n）²、mn之间的等量关系是：

（m-n）²=（m+n）²-4mn

．
（3）若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=

±5

．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了

（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²

．
（5）请你用图③提供的若干块长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：m²+4mn+3n²．要求：在图④的框中画出图形；写出分解的因式．

Answer 1

分析：（1）②中的阴影部分为边长为（a-b）的正方形，然后根据正方形面积公式求解即可；
（2）由于图②中阴影部分的面积可以表示为（m+n）²-4mn，所以（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）利用（2）的结论得到（x-y）²=（x+y）²-4xy，再把x+y=-6，xy=2.75代入计算，然后根据平方根的定义求解；
（4）利用图形的面积不变得到（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（5）先拼接长方形，然后利用面积之间的关系得到m²+4mn+3n²=（m+n）（m+2n）．

解答：解：（1）图②中阴影部分的面积等于（m-n）²；
（2）图②中阴影部分的面积为（m+n）²-4mn，
所以（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）（x-y）²=（x+y）²-4xy
=（-6）²-4×2.75
=25，
∴x-y=±5；
（4）（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（5）如图，m²+4mn+3n²=（m+n）（m+2n）．
故答案为（m-n）²；（m-n）²=（m+n）²-4mn；±5；（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²．

点评：本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．