Question

已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．
（1）求证：△ECA∽△CFB；
（2）若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质求出∠CAE=∠CBF=135°，求出∠ECA+∠BCF=45°，∠E+∠ACE=45°，推出∠E=∠BCF，即可推出两三角形相似；
（2）根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB；

（2）解：∵AB=x，∠CAB=45°，∠ACB=90°，AC=BC，
∴sin45°=

CB

x

，
∴CB=

2

2

x=AC，
∵由（1）知△ECA∽△CFB，
∴

AE

CB

=

AC

BF

，
∴

3

2 2 x

=

2 2 x

y

，
∴y=

1

6

x²，
x的取值范围是x＞0，
即y与x之间的函数关系式是y=

1

6

x²，x的取值范围是x＞0．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．