Question

图（1）是一个面积为1的黑色正三角形，顺次连接它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续作下去，则在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是

 

．

Answer 1

分析：首先将所给的图②与图③中的黑色三角形的面积和求出来，注意利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．然后得到规律：第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（

3

4

）^n-1，代入即可求得．

解答：
解：∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴

DE

AC

=

EF

AB

=

DF

BC

 =

1

2

，
∴△DEF∽△ABC，
∴

S△DEF

S△ABC

=（

DE

AC

）²=（

1

2

）²，
∴S_△DEF=

1

4

，
∴图②中所有黑色三角形的面积和是：1-

1

4

=

3

4

，
同理：图三中各黑色三角形的面积和为：1-

1

16

×3-

1

4

=

9

16

=（

3

4

）²，
∴可得第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（

3

4

）^n-1．
∴在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是：（

3

4

）⁴．
故答案为：（

3

4

）⁴．

点评：此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方．此题还考查了学生的分归纳能力．解题时要注意仔细分析．