Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连接BC．
（1）求证：；
（2）若∠BAC=40°，求∠ABC的度数．

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Answer 1

【答案】分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由OD⊥AC得出OD是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论；
（2）先由圆周角定理得出∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数即可．
解答：解：（1）证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，OA=OB，
又∵OD⊥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=CD，
∴．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO，
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°，
∴∠B=50°．
点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理及三角形内角和定理，根据题意得出OD是△ABC的中位线是解答此题的关键．