题目内容

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象抛物线G经过（-5，0），（0， $数学公式$ ），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3
（1）求抛物线G的函数解析式；
（2）求证：抛物线G与直线L无公共点；
（3）若与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，求P点的坐标．

解：（1）∵次函数y=ax²+bx+c的图象抛物线G经过（-5，0），（0， $\text{[math]}$ ），（1，6）三点，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线G的函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²+3x+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵由（1）得抛物线G的函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²+3x+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
①-②得， $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ =0，
∵△=1²-4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =-10＜0，
∴方程无实数根，即抛物线G与直线L无公共点；

（3）∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，
∴ $\text{[math]}$ ，消去y得， $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ -m=0①，
∵抛物线G与直线y=2x+m只有一个公共点P，
∴△=1²-4× $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ -m）=0，解得m=2，
把m=2代入方程①得， $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ -2=0，解得x=-1，
把x=-1代入直线y=2x+2得，y=0，
∴P（-1，0）．
分析：（1）直接把点（-5，0），（0， $\text{[math]}$ ），（1，6）代入二次函数y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值即可；
（2）把（1）中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x-3组成方程组，再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；
（3）把直线y=2x+m与抛物线G的解析式组成方程组，根据只有一个公共点P可知△=0，求出m的值，故可得出P点坐标即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知待定系数法求一元二次方程的解析式及一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键．