题目内容
10．
数学课上，老师提出如下问题：已知点A，B，C是不在同一直线上三点，求作一条过点C的直线l，使得点A，B到直线l的距离相等．小明的作法如下：
①连接线段AB；
②分别以A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB为半径画弧，两弧交于M、N两点；
③做直线MN，交线段AB于点O；
④做直线CO，则CO就是所求作的直线l老师肯定了小明的作法，根据上面的作法回答下列问题：
（1）小明利用尺规作图作出的直线MN是线段AB的垂直平分线；点O是线段AB的中点；
（2）要证明点A，点B到直线l的距离相等，需要在图中画出必要的线段，请在图中作出辅助线，说明作法，并说明线段AE的长是点A到直线l的距离，线段BF的长是点B到直线l的距离；
（3）证明点A，B到直线l的距离相等．
分析 （1）根据基本作图可判断直线MN是线段AB的垂直平分线，则点O是线段AB的中点；
（2）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线），作点A作AE⊥l于点E，作BF⊥l于点F；根据点到直线的距离可判断线段AE 的长是点A到直线l的距离，线段BF 的长是点B到直线l的距离；
（3）证明△AEO≌△BFO得到AE=BF．
解答 解：（1）直线MN是线段AB的垂直平分线；点O是线段AB的中点；
（2）过点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F；
线段AE 的长是点A到直线l的距离，
线段BF 的长是点B到直线l的距离；
（3）∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEO=∠BFO=90°
在△AOE和△BOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BFO
∴AE=BF，即点A，B到直线l的距离相等．
故答案为垂直平分线，中点，AE，BF．
点评 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了点到直线的距离．
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