Question

【题目】四边形是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接

（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长；

（2）如图2，当点在线段上时，

①求点到的距离

②求的长

（3）若，请直接写出此时的长.

Answer 1

【答案】(1)BF=4;(2)①点到的距离为3；②BF=；(3)AE=2+或AE=1.

【解析】

试题分析：（1）过点F作FMBA, 交BA的延长线于点M，根据勾股定理求得AC=,又因点与点重合，可得△AFM为等腰直角三角形且AF=,再由勾股定理求得AM=FM=4,在Rt△BFM中，由勾股定理即可求得BF=4;（2）①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，根据已知条件易证，根据全等三角形的性质可得FH=ED，又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3，即点到的距离为3；②延长FH交BC的延长线于点K，求得FK和BK的长，在Rt△BFK中，根据勾股定理即可求得BF的长；（3）分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.

试题解析：

(1)BF=4;

(2) 如图，

①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，

∵四边形CEFG是正方形

∴EC=EF,∠FEC=90°

∴∠DEC+∠FEH=90°，

又因四边形是正方形

∴∠ADC=90°

∴∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，

∴

∴FH=ED

∵AD=4,AE=1,

∴ED=AD-AE=4-1=3,

∴FH=3，

即点到的距离为3.

②延长FH交BC的延长线于点K，

∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，

∴四边形CDHK为矩形，

∴HK=CD=4,

∴FK=FH+HK=3+4=7

∵

∴EH=CD=AD=4

∴AE=DH=CK=1

∴BK=BC+CK=4+1=5,

在Rt△BFK中，BF=

(3)AE=2+或AE=1.