Question

如图，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，过D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，试求a与b之间的关系．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：根据矩形的性质和全等三角形的判定推出△ADE≌△CBF，推出AE=EF=CF，证△ABF∽△BCF，得出比例式

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，设AE=EF=CF=c，求出BF的值，代入即可求出答案．

解答：解：a与b的关系是b=

2

a，
理由是：
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中

∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=CF，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°=∠BFC，
∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF=∠BCF，
∵∠AFB=∠CFB=90°，
∴△ABF∽△BCF，
∴

AB

BC

=

BF

CF

=

AF

BF

，
设AE=EF=CF=c，
则BF²=AF•CF=2c²，
∴BF=

2

c，
∵AB=b，BC=a，
∴

b

a

=

2 c

c

=

2

，
∴b=

2

a，
即a与b之间的关系是b=

2

a．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是求出AE=EF=CF和得出a、b和CF的关系式，此题综合性比较强，通过做此题培养了学生运用所学的定理进行推理的能力同时也培养了学生的计算能力．