Question

19．已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，
（1）求证：MN=$\frac{1}{2}$BC；
（2）过点A作⊙O的直径AD，连接BD，AG为过点A的圆切线，过点M作MG⊥AG，垂足为G，若cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，BD=20，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理和三角形的中位线的性质得到结论．
（2）由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，解直角三角形得到AD，AB的长度，再由锐角三角函数解出结果．

解答 （1）证明：∵OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，
∴点M、N分别是AB、AC的中点，MN是三角形ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC；

（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，BD=20，
∴在直角三角形ABD中，可设AD=5k，AB=4K，
根据勾股定理得：（5k）²-（4k）²20²，
∴k=$±\frac{20}{3}$（-$\frac{20}{3}$舍去），
∴AD=$\frac{100}{3}$，AB=$\frac{80}{3}$，
∵AG是⊙O的切线，
∴OA⊥AG，
又∵MG⊥AG，
∴∠GAD=90°=∠MGA，
∴AD∥MG
∴∠AMG=∠BAD
∴sin∠AMG=sin∠BAD=$\frac{AG}{AM}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴AG=$\frac{3}{5}$AM=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$AB=8，
∴AG=8．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，掌握垂径定理是解题的关键．