Question

（2013•东城区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E．
（1）求证：AM=2CM；
（2）若∠1=∠2，CD=2

3

，求ME的值．

Answer 1

分析：（1）先根据四边形ABCD是菱形得出BC∥AD，故△CFM∽△ADM，由相似三角形的性质可知

CF

AD

=

CM

AM

，再根据CF=

1

2

BC=

1

2

AD即可得出结论；
（2））先根据AB∥DC得出∠1=∠4，再由∠1=∠2可知∠2=∠4．由等腰三角形的性质得出CE=

1

2

CD．再根据四边形ABCD是菱形得出∠3=∠4．根据F为边BC的中点可知CF=CE，根据SAS定理得出△CMF≌△CME，故可得出∠CFM=∠CEM=90°．再由∠2=∠3=∠4=30°得出

ME

CE

=

3

3

的值，根据CD=2CE即可得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形．
∴BC∥AD．
∴△CFM∽△ADM．
∴

CF

AD

=

CM

AM

，
∵F为边BC的中点，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

AD，
∴

CF

AD

=

CM

AM

=

1

2

．
∴AM=2MC；

（2）∵AB∥DC，
∴∠1=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠4．
∵ME⊥CD，
∴CE=

1

2

CD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4．
∵F为边BC的中点，
∴CF=

1

2

BC．
∴CF=CE，
∵在△CMF和△CME中，

CE=CF ∠3=∠4 CM=CM

，
∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴∠CFM=∠CEM=90°．
∵∠2=∠3=∠4，
∴∠2=∠3=∠4=30°．
∴

ME

CE

=

3

3

．
∵CD=2CE=2

3

，
∴CE=

3

，
∴ME=1．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解答此题的关键．