Question

【题目】已知在中，，分别为边上的两动点，且在运动过程中保持，为的对角线．

（1）如图①，若，

图①

①当点与点重合时，探索的值；

②当点与点不重合时，探索的值；

（2）如图②，参考（1）研究方法，若，

图②

①当点与点重合时，探索的值；

②当点与点不重合时，探索的值；

（3）如图③，参考（1）（2）研究方法，若时，试探索是否存在常数，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；

（2）①；②；

（3）．

【解析】

（1）①利用等边三角形的性质即可解决问题；

②如图①中，只要证明即可解决问题；

（2）①解直角三角形求出有关线段即可解决问题；②若点与点不重合，如图②中，过点作于点，设，，只要证明，可得，在中，，可得，，推出，在中，由，可得，由此即可解决问题；

（3）模仿（1）（2）的解法即可解决问题；

解；（1）①如图①﹣1中，

图①-1

四边形是平行四边形，

，都是等边三角形

点与点重合

点与点重合

，

．

②若点与点不重合．如图①中，

图①

由①得，都是等边三角形

，

（2）①若点与点重合，如图②﹣1中，

图②-1

，

易知，又，

又

容易证得

设，则，，

又，

．

若点与点不重合，如图②中，过点作于点，

设，，

图②

由上可知，

，

，

，又，

，

，

在中，，

，，

，

在中，，

，

，

，

，

（3）如图③当点与重合时，作于，于．

设，．

图③

则，，，

，，，

由，可得，，

，

，

，

．

由（1）（2）可知：当点与点不重合时，，

综上所述，．