题目内容

一次函数y= $数学公式$ x+3与y=- $数学公式$ x+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C．
（1）试求△ABC的面积；
（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）过△ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积？若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．

解：（1）把A（m，0）代入y= $\text{[math]}$ x+3有：0= $\text{[math]}$ m+3，
得：m=-2，即得点A（-2，0）
y= $\text{[math]}$ x+3，当x=0时，y=3，
∴点B（0，3）
把A（-2，0）代入y=- $\text{[math]}$ x+q有：0=- $\text{[math]}$ ×（-2）+q，q=-1．
∴y=- $\text{[math]}$ x-1，当x=0时，y=-1，∴点C（0，-1）
故S_△ABC= $\text{[math]}$ BC×AO= $\text{[math]}$ ×4×2=4．
（2）D₁（-2，4）、D₂（-2，-4）、D₃（2，2）．
（3）若过点A，则这条直线过BC的中点（0，1），得直线l₁：y= $\text{[math]}$ x+1；
若过点C，则这条直线过AB的中点（-1， $\text{[math]}$ ），得直线l₂：y=- $\text{[math]}$ x-1；
若过点B，则这条直线过AC的中点（-1，- $\text{[math]}$ ），得直线l₃：y= $\text{[math]}$ x+3．
分析：（1）把A（m，0）代入y= $\text{[math]}$ x+3求出m的值，得到点A的坐标，把点A的坐标代y=- $\text{[math]}$ x+q中，求出q的值，得到B，C两点的坐标，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．
（2）根据平行四边形的性质可以直接写出点D的坐标，这样的D点有三个．
（3）过三角形一个顶点的直线把三角形的面积平分，这样的直线是三角形的中线，所以分别求出三角形的中线的解析式．
点评：本题考查的是一次函数的综合题，（1）根据题意求出A，B，C三点的坐标，求出三角形的面积．（2）由平行四边形的性质直接写出点D的坐标．（3）用待定系数法求出平分三角形面积的直线的解析式．