Question

如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　　．

Answer 1

考点：

反比例函数综合题．

分析：

由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D（b，），由双曲线的对称性可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．

解答：

解：如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，

∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），

∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），

∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．

又∵△BDE∽△BCA，

∴∠BDE=∠BCA=90°，

∴直线y=x与直线DE垂直，

∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．

又∵点D在直线AB上，

∴=b+2﹣a，即2a²﹣2a﹣3=0，

解得，a=，

∴点E的坐标是（，）．

故答案是：（，）．

点评：

本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．