Question

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O₁、O₂分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，
求证：（1）O₁O⊥CO₂；（2）OC=O₁O₂．

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠DCB，
∴∠EAC=∠O₂CB，
∴∠EAC+∠ACE=∠O₂CB+∠ACE=90°，
即∠AEC=90°，
∴O₁O⊥CO₂；

（2）由于点O₁O₂分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，
∴∠O₁CO₂=45°，由（1）∠O₁EC=90°，
∴CE=O₁E，
同理可证O₂F⊥CF，∠OO₂E=45°，O₂E=EO，∠CEO=∠O₂EO₁，
∴△CEO≌△O₁EO₂，
∴CO=O₁O₂．
分析：（1）由∠A=∠DCB，得∠EAC=∠O₂CB，从而得出∠AEC=90°，即O₁O⊥CO₂；
（2）由于点O₁O₂分别在∠ACD和∠DCB，的平分线上，再根据（1）得CE=O₁E，同理O₂F⊥CF，∠OO₂E=45°，O₂E=EO，∠CEO=∠O₂EO₁，则△CEO≌△O₁EO₂，即CO=O₁O₂．
点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．