题目内容
如图，抛物线y=| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE的长；
②设Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
分析：（1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，通过解方程组即可得出待定系数的值．
（2）①首先用t表示出E、D两点的纵坐标，它们差的绝对值即为DE的长度表达式；
②此题若求△DEF的三边长难度比较大，所以需要转换一下解题思路；观察图形，若设直线AB与x轴的交点为G，显然△GBO和△DEF相似，所以先求出△GBO的周长，然后利用相似三角形的周长比等于对应边的比来列式求解．
（3）若表达出△BMN的三边长，然后根据等腰直角三角形的腰相等和勾股定理来列方程组，这样解答的计算量会非常大，所以可以从几何角度入手来降低解题难度；首先△BMN是以M为直角顶点的等腰直角爱三角形，那么可以根据腰相等来构建全等三角形解答；作出点M在y轴左侧的图形（无论点M在哪里，解题思路相同），过M作y轴的垂线，交x轴于R，过B作MR的垂线，设垂足为S，那么通过证△MNR≌△BMS，得出MR=BS=OR，即点M横纵坐标的绝对值相同，再联立抛物线的解析式即可得出点M的坐标．
（2）①首先用t表示出E、D两点的纵坐标，它们差的绝对值即为DE的长度表达式；
②此题若求△DEF的三边长难度比较大，所以需要转换一下解题思路；观察图形，若设直线AB与x轴的交点为G，显然△GBO和△DEF相似，所以先求出△GBO的周长，然后利用相似三角形的周长比等于对应边的比来列式求解．
（3）若表达出△BMN的三边长，然后根据等腰直角三角形的腰相等和勾股定理来列方程组，这样解答的计算量会非常大，所以可以从几何角度入手来降低解题难度；首先△BMN是以M为直角顶点的等腰直角爱三角形，那么可以根据腰相等来构建全等三角形解答；作出点M在y轴左侧的图形（无论点M在哪里，解题思路相同），过M作y轴的垂线，交x轴于R，过B作MR的垂线，设垂足为S，那么通过证△MNR≌△BMS，得出MR=BS=OR，即点M横纵坐标的绝对值相同，再联立抛物线的解析式即可得出点M的坐标．
解答：解：（1）由题意，知：
，
解得
故抛物线的解析式为y=
x2-
x-1．
（2）①D在y=
x2-
x-1上，可设D（t，
t2-
t-1），E（t，
t-1）；
则DE=
t-1-（
t2-
t-1）=-
t2+2t；
②∵在y=
x-1中，令y=0得x=
，
∴直线AB与x轴交于G（
，0），
∴BG=
=
，
∴△OBG的周长为1+
+
=4；
∵DE∥y轴，
∴△GBO∽△DEF，
∴
=
∴p=-
t2+
t=-
（t-2）2+
，
∴当t=2时，pmax=
，此时D（2，-
）．
（3）以点M在y轴左侧为例，如右图；
过M作x轴的垂线，设垂足为R；若点B作MR的垂线，设垂足为S；
∵在△MNR与△BMS中，
，
∴△MNR≌△BMS，
MR=BS=OR；
当点M在x轴左侧时，与上相同，所以可设M（a，±a）；
当点M的坐标为（a，a）时，有：
a2-
a-1=a，解得：a=
；
当点M的坐标为（a，-a）时，有：
a2-
a-1=-a，解得：a=
；
综上，点M的坐标为（
，
），（
，
），（
，-
），（
，-
）．
|
解得
|
故抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
（2）①D在y=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
则DE=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
②∵在y=
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
∴直线AB与x轴交于G（
| 4 |
| 3 |
∴BG=
12+(
|
| 5 |
| 3 |
∴△OBG的周长为1+
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∵DE∥y轴，
∴△GBO∽△DEF，
∴
| p |
| 4 |
-
| ||
|
∴p=-
| 6 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∴当t=2时，pmax=
| 24 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
（3）以点M在y轴左侧为例，如右图；过M作x轴的垂线，设垂足为R；若点B作MR的垂线，设垂足为S；
∵在△MNR与△BMS中，
|
∴△MNR≌△BMS，
MR=BS=OR；
当点M在x轴左侧时，与上相同，所以可设M（a，±a）；
当点M的坐标为（a，a）时，有：
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
9±
| ||
| 4 |
当点M的坐标为（a，-a）时，有：
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
1±
| ||
| 4 |
综上，点M的坐标为（
9+
| ||
| 4 |
9+
| ||
| 4 |
9-
| ||
| 4 |
9-
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
1-
| ||
| 4 |
1-
| ||
| 4 |
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形以及全等三角形的应用、等腰直角三角形的性质等重要知识点；后面两个小题中，利用几何知识来解是比较简便快捷的方式，体现了数形结合思想的合理应用．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，如果OB=OC=| 1 |
| 2 |
| A、-2 | ||
| B、-1 | ||
C、-
| ||
D、
|
此抛物线上，矩形面积为12，
已知：如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）经过原点和E（3，0）．
如图，抛物线
如图，抛物线y=ax2+bx+