Question

 如图24，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠BAD＝∠ABD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：△ADC△BDC

（2）求证：DE平分∠BDC；

（3）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

 

Answer 1

证明：（1）在等腰直角△ABC中， BC=AC

∵∠BAD＝∠ABD＝30°

∴BD= AD

在△BDC与△ADC中

BC=AC，BD= AD，DC=DC

∴△BDC≌△ADC……………3分

（2）在等腰直角△ABC中

∠BAC=∠ABC=45^o

∵∠BAD=∠ABD=30°

∴∠CAD=∠CBD=45^o-30^o =15^o，

∵△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD= 45°
∴∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°

∠ADB=360°-120°-120°=120°
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；   ……………6分

（3）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                    …………………………8分

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC， ………………………9分

∴ME=AD=DB．                    ………………………………10分