Question

关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，是否存在实数k，使

1

x1

+

1

x2

=0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因原方程有两个不相等实根，所以△=b²-4ac＞0，代入a、b、c的值，解不等式即可．
（2）先将两根的倒数和通分变形为含有两根和、两根积的形式，即

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0，然后根据根与系数的关系，表示出两根和、两根积，再代入上式中，求出k的值，利用（1）的结论进行判断即可．

解答：解：（1）由题意得，△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，
解得，k＞-1，
又∵k≠0
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0；

（2）不存在符合条件的实数k
理由：∵方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
即

x1+x2

x1•x2

=0，
则-

k+2

k

÷

1

4

=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2时，△＜0，原方程无实数解，
∴不存在符合条件的k的值．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解答题目时一定要注意一元二次方程的二次项系数不能为0这一条件．